Номер 1409 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

№1409. На рисунке 425 изображены четыре полуокружности: $A EB$ , $A K C$ , $CF D$ , $D L B$ , причём $A C = D B$ . Докажите, что площадь закрашенной фигуры равна площади круга, построенного на отрезке $EF$ как на диаметре.

Дано:

полуокружности $A EB$ , $A K C$ , $CF D$ , $D L B$ (рис. 425)

$A C = D B$

Доказать:

$S_{фиг} = S_{круга}$ с диаметром $EF$

Доказательство:

Чертёж к задаче 1409 — четыре полуокружности AEB, AKC, CFD, DLB и закрашенная фигура

1) Так как $A C = D B$ , середина $O$ отрезка $A B$ является и серединой $C D$ : полуокружности $A EB$ и $CF D$ имеют общий центр $O$ , а $EF$ — перпендикуляр к $A B$ в точке $O$ . Обозначим

O A = OB = OE = R, OC = O D = OF = r, A C = D B = R - r

Радиус каждой из полуокружностей $A K C$ и $D L B$ равен $\frac{R - r}{2}$ .

2) Закрашенная фигура — это полукруг $A EB$ без двух маленьких полукругов $A K C$ и $D L B$ вместе с полукругом $CF D$ (он лежит по другую сторону от $A B$ ). Её площадь

S = \frac{π R ^{2}}{2} - 2 \cdot \frac{π}{2} (\frac{R - r}{2})^{2} + \frac{π r ^{2}}{2} = \frac{π}{4} (2 R^{2} + 2 r^{2} - (R - r)^{2})

S = \frac{π}{4} (R^{2} + 2 R r + r^{2}) = \frac{π ( R + r ) ^{2}}{4}

3) $EF = OE + OF = R + r$ , поэтому площадь круга с диаметром $EF$ равна

π (\frac{EF}{2})^{2} = \frac{π ( R + r ) ^{2}}{4} = S

Площади равны, что и требовалось доказать.

Вывод: $S = \frac{π ( R + r ) ^{2}}{4} = π (\frac{EF}{2})^{2}$ , где $R = O A$ , $r = OC$ .

Номер 1409 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели