Номер 1411 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Доказательство:

1) Пусть $O$ — середина $AB$, $l$ — серединный перпендикуляр к $AB$, $Z$ — центральная симметрия с центром $O$, $S$ — осевая симметрия относительно $l$. Оба движения переводят $A\to B$ и $B\to A$.

2) Возьмём точку $C$, не лежащую ни на прямой $AB$, ни на прямой $l$. Пусть $C^{\prime }=g(C)$. Движение сохраняет расстояния, поэтому

3) Точки $C_1=Z(C)$ и $C_2=S(C)$ обладают тем же свойством: $B{C}_1=AC$, $A{C}_1=BC$ и $B{C}_2=AC$, $A{C}_2=BC$. Но точка $X$ с условиями $BX=AC$, $AX=BC$ — общая точка двух окружностей с различными центрами $B$ и $A$, а таких точек не больше двух. Точки $C_1$ и $C_2$ различны ($C_1$ и $C$ лежат по разные стороны от $AB$, а $C_2$ и $C$ — по одну). Значит, $C^{\prime }=C_1$ или $C^{\prime }=C_2$.

4) Если $C^{\prime }=C_1$, то движения $g$ и $Z$ переводят вершины треугольника $ABC$ в одни и те же точки $B$, $A$, $C_1$. По задаче 1248 такое движение единственно, поэтому $g=Z$ — центральная симметрия. Если $C^{\prime }=C_2$, то так же $g=S$ — осевая симметрия.

Итак, $g$ — центральная симметрия (относительно середины $AB$) или осевая симметрия (относительно серединного перпендикуляра к $AB$), что и требовалось доказать.