Номер 1410 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Решение:

Площадь круга радиуса $x$ равна $\pi x^2$. Достаточно построить отрезок $x$ и провести окружность этого радиуса с центром в любой точке.

а) Кольцо.

Площадь кольца $\pi R^2-\pi r^2$, значит, нужно $x^2=R^2-r^2$.

Построение. Проведём радиус $OM$ меньшей окружности, через $M$ — прямую, перпендикулярную $OM$, и отметим точку $P$ её пересечения с большей окружностью. Тогда $x=MP$.

Обоснование. В прямоугольном треугольнике $OMP$ гипотенуза $OP=R$, катет $OM=r$, по теореме Пифагора $M{P}^2=R^2-r^2$. ($MP$ — половина хорды большой окружности, касающейся меньшей.)

б) Полукруг.

Площадь полукруга $\frac{\pi R^2}{2}$, нужно $x^2=\frac{R^2}{2}$, то есть $x=\frac{R}{\sqrt{2}}$.

Построение. Пусть $O$ — центр полукруга, $OA$ — радиус по диаметру. Построим радиус $OB\perp OA$, проведём хорду $AB$ и отметим её середину $N$. Тогда $x=ON$.

Обоснование. Треугольник $AOB$ прямоугольный и равнобедренный, $AB=R\sqrt{2}$, медиана к гипотенузе $ON=\frac{AB}{2}=\frac{R\sqrt{2}}{2}=\frac{R}{\sqrt{2}}$.

в) Сектор с дугой 60°.

Его площадь $\frac{\pi R^2}{360^{\circ }}\cdot 60^{\circ }=\frac{\pi R^2}{6}$, нужно $x^2=R\cdot \frac{R}{6}$ — среднее пропорциональное отрезков $R$ и $\frac{R}{6}$.

Построение. Разделим радиус на 6 равных частей (теорема Фалеса) и получим отрезок $\frac{R}{6}$. На прямой отложим подряд $XT=R$ и $TY=\frac{R}{6}$, на $XY$ как на диаметре построим полуокружность, а через $T$ — перпендикуляр к $XY$ до пересечения с ней в точке $H$. Тогда $x=TH$.

Обоснование. Угол $XHY$ прямой (опирается на диаметр), $HT$ — высота, проведённая к гипотенузе, поэтому

В каждом случае окружность радиуса $x$ — искомая граница круга.