Номер 1412 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Доказательство:

1) Построим равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $A$ ($AC=AB$), а на отрезке $A_1{B}_1$ — два таких треугольника $A_1{B}_1{C}_1$ и $A_1{B}_1{C}_1^{\prime }$ с прямым углом $A_1$ по разные стороны от прямой $A_1{B}_1$.

2) Существование. У треугольников $ABC$ и $A_1{B}_1{C}_1$ соответственные стороны равны: $AB=A_1{B}_1$, $AC=A_1{C}_1$, $BC=B_1{C}_1=AB\sqrt{2}$. По задаче 1249 есть движение $g_1$: $A\to A_1$, $B\to B_1$, $C\to C_1$. Так же есть движение $g_2$: $A\to A_1$, $B\to B_1$, $C\to C_1^{\prime }$. Движения различны: точку $C$ они переводят в разные точки.

3) Других нет. Пусть $g$ — любое движение с $g(A)=A_1$, $g(B)=B_1$, и $C^{\prime }=g(C)$. Расстояния сохраняются: $A_1{C}^{\prime }=AC=A_1{B}_1$, $B_1{C}^{\prime }=BC=A_1{B}_1\sqrt{2}$. Значит, $B_1{C}^{\prime 2}=A_1{B}_1^2+A_1{C}^{\prime 2}$, и по теореме, обратной теореме Пифагора, $\angle B_1{A}_1{C}^{\prime }=90^{\circ }$. Точек $C^{\prime }$ на перпендикуляре к $A_1{B}_1$ в точке $A_1$ на расстоянии $A_1{B}_1$ от $A_1$ ровно две — это $C_1$ и $C_1^{\prime }$.

4) Если $C^{\prime }=C_1$, то $g$ и $g_1$ одинаково действуют на три точки $A$, $B$, $C$, не лежащие на одной прямой, и по задаче 1248 $g=g_1$. Если $C^{\prime }=C_1^{\prime }$, то $g=g_2$.

Итак, движений, переводящих $A$ в $A_1$ и $B$ в $B_1$, ровно два, что и требовалось доказать.