Номер 1413 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Дано:

$A BC D$ и $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ — параллелограммы

$A C = A_{1} C_{1}$ , $B D = B_{1} D_{1}$ , углы между диагоналями равны

Доказать:

$A BC D = A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$

Доказательство:

Чертёж к задаче 1413 — два параллелограмма с равными диагоналями и равными углами между ними, треугольники AOB и A₁O₁B₁ закрашены

1) Пусть $O$ и $O_{1}$ — точки пересечения диагоналей. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам:

O A = OC = \frac{A C}{2} = O_{1} A_{1} = O_{1} C_{1}, OB = O D = \frac{B D}{2} = O_{1} B_{1} = O_{1} D_{1}

2) Углы $A OB$ и $BOC$ смежные, и один из них равен углу $φ$ между диагоналями. Если $∠ A_{1} O_{1} B_{1} \neq = ∠ A OB$ , поменяем местами обозначения $B_{1}$ и $D_{1}$ (угол $A_{1} O_{1} D_{1}$ смежный с $A_{1} O_{1} B_{1}$ ). Поэтому можно считать $∠ A OB = ∠ A_{1} O_{1} B_{1}$ , а тогда и $∠ BOC = ∠ B_{1} O_{1} C_{1}$ .

3) $△ A OB = △ A_{1} O_{1} B_{1}$ и $△ BOC = △ B_{1} O_{1} C_{1}$ по двум сторонам и углу между ними, поэтому

A B = A_{1} B_{1}, BC = B_{1} C_{1}

4) $△ A BC = △ A_{1} B_{1} C_{1}$ по трём сторонам ( $A C = A_{1} C_{1}$ ), значит, $∠ A BC = ∠ A_{1} B_{1} C_{1}$ .

5) У параллелограммов смежные стороны $A B$ , $BC$ и угол между ними соответственно равны смежным сторонам $A_{1} B_{1}$ , $B_{1} C_{1}$ и углу между ними, поэтому по задаче 1250 параллелограммы равны, что и требовалось доказать.

Вывод: параллелограммы равны: из равенства треугольников $A OB$ , $BOC$ следует равенство смежных сторон и угла между ними.

Номер 1413 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели