Номер 1415 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Доказательство:

Против стороны $AB$ лежит угол $C$, против $AC$ — угол $B$. Пусть для определённости $AC>AB$; тогда $\angle B>\angle C$ и $\delta =\angle B-\angle C=\angle B_1-\angle C_1>0$ (у второго треугольника то же: $A_1{C}_1>A_1{B}_1$). Угол $C$ меньше угла $B$, поэтому острый.

1) Пусть $AH$ — высота, $B^{\prime }$ — точка, симметричная $B$ относительно прямой $AH$. Она лежит на прямой $BC$, $A{B}^{\prime }=AB$ (осевая симметрия сохраняет расстояния), $B^{\prime }\ne C$ (так как $AB\ne AC$).

2) Найдём углы треугольника $A{B}^{\prime }C$.

• Если угол $B$ острый, то $H$ лежит на отрезке $BC$, причём $HC=\sqrt{A{C}^2-A{H}^2}>\sqrt{A{B}^2-A{H}^2}=HB=H{B}^{\prime }$, так что $B^{\prime }$ — между $H$ и $C$. Из симметрии $\angle A{B}^{\prime }B=\angle AB{B}^{\prime }=\angle B$, это внешний угол треугольника $A{B}^{\prime }C$, поэтому $\angle B^{\prime }AC=\angle B-\angle C=\delta$ и $\angle A{B}^{\prime }C=180^{\circ }-\angle B$.

• Если угол $B$ тупой, то $H$ лежит на продолжении $CB$ за точку $B$, а $B^{\prime }$ — за точкой $H$. Из симметрии $\angle A{B}^{\prime }C=\angle A{B}^{\prime }H=\angle ABH=180^{\circ }-\angle B$, и снова $\angle B^{\prime }AC=180^{\circ }-(180^{\circ }-\angle B)-\angle C=\delta$.

• Если $\angle B=90^{\circ }$, то $B^{\prime }=H=B$, треугольник $A{B}^{\prime }C$ — это $ABC$, и $\angle BAC=90^{\circ }-\angle C=\delta$.

Во всех случаях в треугольнике $A{B}^{\prime }C$: $A{B}^{\prime }=AB$, $AC$ и угол между ними $\delta$, а $\angle A{B}^{\prime }C=180^{\circ }-\angle B$.

3) Для второго треугольника построим так же точку $B_1^{\prime }$. Треугольники $A{B}^{\prime }C$ и $A_1{B}_1^{\prime }{C}_1$ равны по двум сторонам и углу между ними ($A{B}^{\prime }=A_1{B}_1^{\prime }$, $AC=A_1{C}_1$, угол $\delta$). Поэтому $\angle A{B}^{\prime }C=\angle A_1{B}_1^{\prime }{C}_1$, то есть

4) Тогда и $\angle A=\angle A_1$, и $△ABC=△A_1{B}_1{C}_1$ по стороне $AB=A_1{B}_1$ и прилежащим к ней углам $A$ и $B$, что и требовалось доказать.