Номер 1414 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Доказательство:

1) На луче $AB$ отложим $AE=DC$ (точка $E$ лежит на отрезке $AB$, так как $DC<AB$). Отрезки $AE$ и $DC$ параллельны, равны и направлены одинаково, поэтому $AECD$ — параллелограмм:

Так же на луче $A_1{B}_1$ отложим $A_1{E}_1=D_1{C}_1$: $C_1{E}_1=D_1{A}_1$, $E_1{B}_1=A_1{B}_1-D_1{C}_1$.

2) В треугольниках $BCE$ и $B_1{C}_1{E}_1$: $BC=B_1{C}_1$, $CE=DA=D_1{A}_1=C_1{E}_1$, $EB=E_1{B}_1$. По задаче 1249 существует движение $g$, при котором $B\to B_1$, $C\to C_1$, $E\to E_1$.

3) $g(A)=A_1$. Точка $A$ лежит на луче $BE$ на расстоянии $AB$ от $B$. Движение переводит луч в луч, поэтому $g(A)$ лежит на луче $B_1{E}_1$ на расстоянии $AB=A_1{B}_1$ от $B_1$, то есть совпадает с $A_1$.

4) $g(D)=D_1$. В параллелограмме $AECD$ середина $Q$ диагонали $AC$ — середина и диагонали $ED$. Движение переводит середину отрезка в середину его образа, поэтому $g(Q)$ — середина $A_1{C}_1$ и середина отрезка $E_{1}g(D)$. Значит, $g(D)$ — точка, симметричная $E_1$ относительно середины $A_1{C}_1$, а это вершина $D_1$ параллелограмма $A_1{E}_1{C}_1{D}_1$.

5) Движение $g$ переводит вершины $A$, $B$, $C$, $D$ в $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$, то есть трапецию $ABCD$ в трапецию $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$. Трапеции равны, что и требовалось доказать.