Номер 1416 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Дано:

$A BC D$ , $K L MN$ — параллелограммы

$K \in A B$ , $L \in BC$ , $M \in C D$ , $N \in D A$

Доказать:

точки пересечения диагоналей $A BC D$ и $K L MN$ совпадают

Доказательство:

Чертёж к задаче 1416 — параллелограмм KLMN с вершинами на сторонах параллелограмма ABCD, диагонали обоих пересекаются в точке O

1) Пусть $P$ — точка пересечения диагоналей $K M$ и $L N$ , $Z$ — центральная симметрия с центром $P$ . Диагонали параллелограмма делятся пополам, поэтому $Z (K) = M$ , $Z (L) = N$ .

2) Центральная симметрия переводит прямую в параллельную ей (или в неё саму) прямую. Прямая $A B$ проходит через $K$ , значит, её образ — прямая, параллельная $A B$ и проходящая через $M$ . Такая прямая единственна — это $C D$ ( $C D ∥ A B$ , $M \in C D$ ). Итак, $Z (A B) = C D$ .

3) Так же прямая $BC$ проходит через $L$ , её образ проходит через $N$ параллельно $BC$ , то есть $Z (BC) = D A$ .

4) Точка $B$ — общая точка прямых $A B$ и $BC$ , поэтому её образ — общая точка прямых $C D$ и $D A$ , то есть $Z (B) = D$ . Значит, $P$ — середина диагонали $B D$ .

5) Середина $B D$ — это точка $O$ пересечения диагоналей $A BC D$ . Итак, $P = O$ , что и требовалось доказать.

Вывод: центр симметрии параллелограмма $K L MN$ переводит $B$ в $D$ , поэтому совпадает с серединой $B D$ .

Номер 1416 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели