Номер 262, часть 2 — ГДЗ Вероятность и статистика 9 класс Высоцкий, Ященко

Учебник «Вероятность и статистика. 7–9 классы», часть 2, с. 91, §71*

№262. Бинарная случайная величина $I$ равна единице с вероятностью $p$ и нулю с вероятностью $q$ . Найдите дисперсию $D I$ , если

а) $p = 0, 8$ ; б) $p = 0, 1$ ; в) $q = 0, 1$ ; г) $q = 0, 4$ .

✎ Запись в тетрадь

Дано:

P (I = 1) = p

P (I = 0) = q

Найти:

D I

E I = p

, поэтому

D I = (1 - p)^{2} p + (0 - p)^{2} q = q^{2} p + p^{2} q

D I = pq (q + p) = pq

а)

q = 0, 2

D I = 0, 8 \cdot 0, 2 = 0, 16

б)

q = 0, 9

D I = 0, 1 \cdot 0, 9 = 0, 09

в)

p = 0, 9

D I = 0, 9 \cdot 0, 1 = 0, 09

г)

p = 0, 6

D I = 0, 6 \cdot 0, 4 = 0, 24

Ответ: а)

0, 16

; б)

0, 09

; в)

0, 09

; г)

0, 24

Идея. Для бинарной величины дисперсия считается по определению $D I = E (I - E I)^{2}$ и сводится к короткой формуле $pq$ (§71*).

1Среднее бинарной величины равно $p$ : $E I = 1 \cdot p + 0 \cdot q$ . Отклонение значения 1 равно $1 - p = q$ , значения 0 — равно $- p$ . Подставляем квадраты отклонений и выносим общий множитель $pq$ ; скобка $q + p$ равна 1.
2Формула $pq$ требует знать обе вероятности. В а) и б) $p$ дано, $q$ находим как $1 - p$ .
3В в) и г) дано $q$ , поэтому сначала находим $p = 1 - q$ . Формула симметрична: произведение $pq$ не меняется, если $p$ и $q$ поменять местами, поэтому ответы б) и в) совпадают.

Проверка. Дисперсия бинарной величины не больше 0,25: $pq$ наибольшее при $p = q = 0, 5$ .