Номер 1 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Все вопросы решаются аксиомами стереометрии $A_2$ (две точки прямой в плоскости — вся прямая в плоскости) и $A_3$ (две плоскости с общей точкой пересекаются по прямой), а также чтением рисунка: какая точка лежит на каком ребре или в какой грани.

1. 1Чтобы сказать, что прямая лежит в плоскости, достаточно найти две её точки в этой плоскости (аксиома $A_2$).
2. 2По рисунку: $E$ на ребре $AB$, $M$ на ребре $DB$, $K$ на ребре $DC$, $P$ внутри грани $ADB$. Поэтому прямая $PE$ лежит в плоскости $ADB$, а $MK$ — в плоскости $DBC$. Через прямую проходят и другие плоскости, но по рисунку называем грани тетраэдра.
3. 3Прямая, не лежащая в плоскости, имеет с ней не больше одной общей точки. Прямая $DK$ совпадает с ребром $DC$ и пересекает плоскость $ABC$ в вершине $C$. Прямая $CE$ лежит в плоскости основания и входит в плоскость $ADB$ в точке $E$ ребра $AB$.
4. 4Отмеченные точки грани $ADB$ — её вершины и точки $E$, $P$, $M$; грани $DBC$ — вершины и $M$, $K$. Если вопрос понимать как «в обеих плоскостях», ответ — точки общего ребра $DB$: $D$, $B$ и $M$.
5. 5Две плоскости с двумя общими точками пересекаются по прямой через эти точки (аксиома $A_3$). У граней $ABC$ и $DCB$ общие вершины $B$ и $C$, у $ABD$ и $CDA$ — вершины $A$ и $D$. Плоскость $PDC$ содержит $E$, потому что $E$ лежит на прямой $DP$; общие точки с плоскостью $ABC$ — $C$ и $E$.