Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 13, §1 Параллельность прямых, прямой и плоскости
№17. На рисунке 17 точки M, N, Q и P — середины отрезков DB, DC, AC и AB. Найдите периметр четырёхугольника MNQP, если AD=12 см, BC=14 см.
✎ Запись в тетрадь
Дано:M, N, Q, P — середины DB, DC, AC, AB; AD=12 см, BC=14 см
Найти:PMNQP
MN — средняя линия
△DBC:
MN=21BC=7 см.
1 PQ — средняя линия
△ABC:
PQ=21BC=7 см.
1 MP — средняя линия
△ABD:
MP=21AD=6 см.
2 NQ — средняя линия
△ACD:
NQ=21AD=6 см.
2 Ответ: 26 см.
Пояснение
Идея. Каждая сторона четырёхугольника соединяет середины двух рёбер одной грани, то есть является средней линией треугольника-грани. Средняя линия равна половине третьей стороны.
- 1Стороны MN и PQ лежат в гранях DBC и ABC, у которых общая сторона BC. Обе средние линии «смотрят» на BC, поэтому обе равны половине BC.
- 2Стороны MP и NQ лежат в гранях ABD и ACD с общей стороной AD, поэтому каждая равна половине AD.
- 3Периметр — сумма четырёх сторон, то есть AD+BC. Форма тетраэдра на ответ не влияет.
Проверка. PMNQP=AD+BC=12+14=26 см.
