Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 8, Введение
№10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного треугольника, если она: а) пересекает две стороны треугольника; б) проходит через одну из вершин треугольника?
✎ Запись в тетрадь
Дано:треугольник ABC, плоскость ABC
Найти:лежит ли прямая в плоскости ABC: а) пересекает две стороны; б) проходит через вершину
а) Прямая пересекает стороны
AB и
BC в точках
X и
Y.
1X,Y∈ плоскости
ABC ⇒ прямая
XY лежит в ней (
A2). Верно.
2 б) Прямая через вершину
A и точку
N∈/ABC лежит не в плоскости.
3С плоскостью
ABC у неё одна общая точка
A. Неверно.
3Ответ: а) да; б) нет.
Пояснение
Идея. Прямая лежит в плоскости, если две её различные точки лежат в этой плоскости (аксиома A2). Одной общей точки для этого недостаточно.
- 1Пересечение со стороной — это общая точка прямой и стороны, а сторона лежит в плоскости треугольника. Две стороны дают две точки в плоскости. Они различны, пока прямая не проходит через общую вершину сторон: этот случай разобран в б).
- 2Две точки X и Y прямой лежат в плоскости треугольника, значит, вся прямая в ней (аксиома A2).
- 3В б) общая точка с плоскостью только одна — вершина. Через вершину проходит прямая, выходящая из плоскости: возьмём точку N вне плоскости (она существует) и проведём AN. С плоскостью треугольника у неё одна общая точка, поэтому утверждение б) неверно.
