Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 8, Введение
№5. Докажите, что через три данные точки, лежащие на прямой, проходит плоскость. Сколько существует таких плоскостей?
✎ Запись в тетрадь
Дано:A,B,C∈a
Найти:доказать существование плоскости; сколько их
Пусть
A,B,C∈a. Возьмём точку
M∈/a.
1Через
a и
M проходит плоскость
α:
A,B,C∈a⊂α.
2Точка
M2∈/α: плоскость
α2 через
a и
M2 — другая.
3Так можно продолжать сколько угодно: плоскостей бесконечно много.
3Ответ: бесконечное множество.
Пояснение
Идея. Три точки одной прямой аксиома A1 не охватывает, поэтому плоскость строим через саму прямую и точку вне неё (теорема п. 3).
- 1В пространстве есть точки вне любой прямой, например вне a. Берём такую точку M.
- 2Через прямую и точку вне неё проходит плоскость α. Две точки прямой лежат в ней, значит, вся прямая a лежит в α (аксиома A2), в том числе точки A, B, C.
- 3Точек вне плоскости α тоже сколько угодно. Берём такую точку M2 и строим вторую плоскость через a и M2: она не совпадает с α, потому что M2∈/α. Повторяя, получаем бесконечное множество плоскостей через одну прямую.
