Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 8, Введение
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей параллелограмма лежат в плоскости α. Лежат ли две другие вершины параллелограмма в плоскости α? Ответ обоснуйте.
✎ Запись в тетрадь
Дано:ABCD — параллелограмм, O=AC∩BD, A,B,O∈α
Найти:лежат ли C и D в α
Пусть
ABCD — параллелограмм,
O=AC∩BD;
A,B,O∈α.
1A,O∈α ⇒ прямая
AO⊂α (
A2).
2 C∈AO (диагональ
AC) ⇒
C∈α.
2 B,O∈α ⇒ прямая
BO⊂α;
D∈BO ⇒
D∈α.
3 Да, вершины
C и
D лежат в
α.
3Ответ: да.
Пояснение
Идея. Если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в ней (аксиома A2). Диагонали параллелограмма проходят через точку O и через вершины.
- 1Смежные вершины — соседние, например A и B. Точка O — пересечение диагоналей AC и BD. Три точки A, B, O лежат в α по условию.
- 2Диагональ AC проходит через A и O. Две её точки лежат в α, значит, вся прямая AC лежит в α, в том числе вершина C.
- 3Диагональ BD проходит через B и O. Те же рассуждения дают BD⊂α и D∈α.
