Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 8, Введение
№12. Точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости. Пересекаются ли плоскости, проходящие через точки A, B, C и A, B, D?
✎ Запись в тетрадь
Дано:A,B,C,D не лежат в одной плоскости
Найти:пересекаются ли плоскости ABC и ABD
Никакие три из точек
A,B,C,D не лежат на одной прямой (№ 4).
1Значит, плоскости
ABC и
ABD существуют (
A1).
1У них две общие точки
A и
B ⇒ пересекаются по прямой
AB (
A3).
3Ответ: да, по прямой AB.
Пояснение
Идея. Две различные плоскости с общей точкой пересекаются по прямой (аксиома A3). Поэтому нужно показать, что обе плоскости существуют, различны и имеют общую точку.
- 1Аксиома A1 даёт плоскость через три точки, не лежащие на одной прямой. По результату задачи 4 а) среди четырёх данных точек нет трёх на одной прямой.
- 2Плоскости ABC и ABD не могут совпадать: иначе все четыре точки лежали бы в одной плоскости, а по условию это не так.
- 3Точки A и B входят в обе плоскости — это общие точки. По аксиоме A3 плоскости пересекаются по прямой, на которой лежат все общие точки. Эта прямая проходит через A и B — прямая AB.
