Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 8, Введение
№8. Верно ли утверждение: а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости; б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости?
✎ Запись в тетрадь
Дано:окружность ω; плоскость π
Найти:верно ли: а) две точки ω∈π⇒ω⊂π; б) три точки
а) Нет. Возьмём плоскость через хорду
AB, отличную от плоскости окружности.
1Она содержит
A,
B, но не всю окружность.
1б) Да. Три точки окружности не лежат на одной прямой.
2Через них проходит единственная плоскость (
A1) — плоскость окружности.
3Поэтому данная плоскость совпадает с ней и содержит всю окружность.
3Ответ: а) нет; б) да.
Пояснение
Идея. Плоскость однозначно задаётся тремя точками, не лежащими на одной прямой (аксиома A1). Двух точек для этого мало.
- 1Через хорду AB проходит бесконечно много плоскостей (задача 5), а плоскость окружности — только одна из них. Любая другая плоскость содержит A и B, но остальные точки окружности лежат вне её. Поэтому в а) ответ «нет».
- 2Прямая пересекает окружность не более чем в двух точках, так что три различные точки окружности не лежат на одной прямой.
- 3Плоскость окружности проходит через эти три точки. Данная в условии плоскость тоже проходит через них. По аксиоме A1 такая плоскость единственная, значит, обе плоскости совпадают, и вся окружность лежит в данной плоскости.
