Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 8, Введение
№3. Верно ли, что:
а) любые три точки лежат в одной плоскости;
б) любые четыре точки лежат в одной плоскости;
в) любые четыре точки не лежат в одной плоскости;
г) через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна?
✎ Запись в тетрадь
Дано:точки в пространстве
Найти:верность утверждений а)–г)
а) Да. Точки не на одной прямой — плоскость по
A1; на одной — любая через неё.
1б) Нет. Вершины тетраэдра
A,B,C,D не лежат в одной плоскости.
2в) Нет. Вершины квадрата
A,B,C,D лежат в одной плоскости.
3г) Нет. Если три точки лежат на одной прямой, плоскостей через них бесконечно много.
4Ответ: а) да; б) нет; в) нет; г) нет.
Пояснение
Идея. Аксиома A1 говорит о точках, не лежащих на одной прямой. Для остальных случаев нужен контрпример: одного подходящего расположения точек хватает, чтобы утверждение «любые» оказалось неверным.
- 1Если три точки не лежат на одной прямой, плоскость через них есть по A1. Если лежат на одной прямой, то через эту прямую проходит плоскость (например, через прямую и любую точку вне неё), и все три точки лежат в ней. Поэтому утверждение верно в обоих случаях.
- 2Четыре вершины тетраэдра не лежат в одной плоскости: учебник отмечает, что четыре точки могут не лежать в одной плоскости. Значит, б) неверно.
- 3Обратное утверждение в) тоже неверно: четыре вершины квадрата лежат в одной плоскости. Для опровержения «любые… не лежат» хватает одного примера, где лежат.
- 4Единственность плоскости в A1 требует, чтобы точки не лежали на одной прямой. Через три точки одной прямой проходят, например, плоскости двух соседних стен класса, пересекающихся по этой прямой, и многие другие.
Частая ошибка. Решать «верно ли для любых точек» одним удобным примером: пример годится только для опровержения, подтверждать им нельзя.
