Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 13, §1 Параллельность прямых, прямой и плоскости
№20. Средняя линия трапеции лежит в плоскости α. Пересекают ли прямые, содержащие её основания, плоскость α? Ответ обоснуйте.
✎ Запись в тетрадь
Дано:ABCD — трапеция, MN — средняя линия, MN⊂α
Найти:пересекают ли AD и BC плоскость α
ABCD — трапеция, AD и BC — основания, MN — средняя линия, MN⊂α.
AD∥MN,
BC∥MN (свойство средней линии трапеции).
1 Если
AD⊂α, то
AD∥α (признак, п. 6).
2Если
AD⊂α, общих точек много, а не одна — это не пересечение.
3Для
BC так же. Итак, основания
α не пересекают.
3Ответ: нет.
Пояснение
Идея. Признак параллельности прямой и плоскости (п. 6): прямая, не лежащая в плоскости и параллельная какой-нибудь прямой этой плоскости, параллельна плоскости.
- 1Из планиметрии: средняя линия трапеции параллельна основаниям. Прямая MN лежит в α, так что у каждого основания есть параллельная прямая в плоскости.
- 2Если основание не лежит в α, признак сразу даёт параллельность: общих точек с плоскостью нет.
- 3Может ли основание лежать в α? Да, если вся трапеция лежит в этой плоскости. Тогда прямая лежит в плоскости, а «пересекаются» по определению значит «имеют ровно одну общую точку». Ни в одном случае пересечения нет.
Частая ошибка. Забыть случай, когда вся трапеция лежит в α, и ответить «основания параллельны α» без оговорки.
