Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 13, §1 Параллельность прямых, прямой и плоскости
№19. Стороны AB и BC параллелограмма ABCD пересекают плоскость α. Докажите, что прямые AD и DC также пересекают плоскость α.
✎ Запись в тетрадь
Дано:ABCD — параллелограмм; AB и BC пересекают α
Доказать:AD и DC пересекают α
ABCD — параллелограмм ⇒
AD∥BC,
DC∥AB.
1 BC пересекает
α,
AD∥BC ⇒
AD пересекает
α (лемма, п. 5).
2 AB пересекает
α,
DC∥AB ⇒
DC пересекает
α (лемма, п. 5).
2 Ответ: доказано.
Пояснение
Идея. Лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми (п. 5): если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая пересекает её.
- 1У параллелограмма противоположные стороны параллельны. Значит, прямые AD и BC параллельны, и прямые DC и AB параллельны.
- 2Каждая из сторон AD и DC параллельна стороне, про которую известно, что она пересекает α. Лемма переносит это свойство с одной параллельной прямой на другую.
