Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 8, Введение
№7. Две прямые пересекаются в точке M. Докажите, что все прямые, не проходящие через точку M и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости. Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку M?
✎ Запись в тетрадь
Дано:a∩b=M; c∩a=X, c∩b=Y, M∈/c
Доказать:c⊂α; верно ли для всех прямых через M
Прямые
a,
b пересекаются в
M: через них проходит плоскость
α.
1Прямая
c∋M пересекает
a в
X,
b в
Y;
X=Y.
2X∈a⊂α,
Y∈b⊂α ⇒
c⊂α (
A2).
3 Все такие прямые лежат в
α.
3Точка
N∈/α: прямая
MN не лежит в
α. Ответ: нет.
4Ответ: нет.
Пояснение
Идея. Две пересекающиеся прямые задают единственную плоскость α (теорема п. 3). Любая прямая, у которой две точки лежат в α, лежит в α целиком (аксиома A2).
- 1Плоскость α содержит обе данные прямые и точку M.
- 2Точки пересечения X и Y различны: если бы совпали, это была бы общая точка a и b, то есть M, а прямая c через M не проходит.
- 3Две точки X, Y прямой c лежат в плоскости α, поэтому вся c лежит в α. Так рассуждаем для любой такой прямой.
- 4Во втором вопросе ищем прямую через M вне α. Точки вне плоскости есть; пусть N — такая точка. Прямая MN не лежит в α, иначе точка N лежала бы в α. Если бы все прямые через M лежали в одной плоскости, это была бы α (через две пересекающиеся прямые a и b проходит только одна плоскость), но MN⊂α.
