Номер 6 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

точки

A

B

C

; отрезки

A B

BC

C A

Найти:

доказать: отрезки лежат в одной плоскости

Пусть точки

A

B

C

не лежат на одной прямой.1

Через них проходит плоскость

α

(аксиома

A_{1}

).1

Две точки

A

B

лежат в

α

, значит, прямая

A B

лежит в

α

(

A_{2}

).2

Так же

BC \subset α

C A \subset α

. Отрезки лежат в

α

Если точки на одной прямой

a

, все отрезки лежат на

a

, то есть в любой плоскости через

a

Ответ: доказано.

Идея. Нужно разобрать два случая расположения трёх точек: не на одной прямой и на одной прямой. Затем применить аксиомы $A_{1}$ и $A_{2}$ .

1Если точки не лежат на одной прямой, аксиома $A_{1}$ даёт единственную плоскость $α$ через все три.
2Отрезок $A B$ — часть прямой $A B$ . Две её точки лежат в $α$ , значит, по аксиоме $A_{2}$ вся прямая, а с ней и отрезок, лежат в $α$ . То же для $BC$ и $C A$ .
3Если все три точки на одной прямой $a$ , три отрезка лежат на этой прямой. Прямая лежит в плоскости, например в плоскости через $a$ и точку вне $a$ (теорема п. 3), значит и отрезки тоже.