Номер 2 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Опора — аксиомы $A_1$–$A_3$ и теорема о плоскости через прямую и точку вне её (п. 3). Каждый ответ получен чтением рисунка: какая точка лежит на каком ребре или в какой грани.

1. 1По рисунку: $Q$ на ребре $B_1{C}_1$, $P$ — скрытая точка на отрезке $BQ$ в задней грани (кружок и штрих), $K$ на ребре $D{D}_1$, $M$ на ребре $C{C}_1$. Три точки $B,Q,C$ лежат в задней грани и не на одной прямой, поэтому плоскость $BQC$ — это задняя грань (аксиома $A_1$).
2. 2В правой грани лежат её вершины, точки $K$, $M$ и точка $R$ на продолжении ребра $DC$; в задней — её вершины и $Q$, $P$, $M$. Если вопрос понимать как «в обеих плоскостях», то по аксиоме $A_3$ общие точки лежат на ребре $C{C}_1$: $C$, $C_1$, $M$.
3. 3Через прямую $A{A}_1$ проходит много плоскостей. Каждая отмеченная точка вне прямой даёт свою плоскость: $B$ и $B_1$ лежат в одной грани, $D$, $D_1$ и $K$ — в другой, $C$, $C_1$ и $M$ — в диагональном сечении. Для $Q$, $P$ и $R$ получаются отдельные плоскости.
4. 4Прямая, не лежащая в плоскости, пересекает её не больше чем в одной точке. Прямая $MK$ и прямая $DC$ из плоскости $ABD$ пересекаются в $R$ — это и есть точка пересечения $MK$ с плоскостью. Прямая $DK$ совпадает с ребром $D{D}_1$ и входит в верхнюю плоскость в $D_1$. Прямая $BP$ проходит через $Q$ верхнего ребра $B_1{C}_1$.
5. 5Плоскости с общими точками пересекаются по прямой через эти точки ($A_3$): левая грань и основание имеют общие $A$ и $B$, задняя грань и основание — $B$ и $C$.
6. 6Точка пересечения двух прямых — их общая точка. $MK$ и $DC$ встречаются в $R$ на продолжении ребра, $B_1{C}_1$ и $BP$ — в $Q$, а $C_{1}M$ (это ребро $C{C}_1$) и $DC$ — в вершине $C$.