Номер 13 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 8, Введение

№13. Могут ли две плоскости иметь: а) только одну общую точку; б) только две общие точки; в) только одну общую прямую?

✎ Запись в тетрадь

Дано:

две различные плоскости

Найти:

возможны ли случаи а)–в)

а) Нет. Есть общая точка ⇒ есть общая прямая (

A_{3}

), точек на ней много.1

б) Нет. По

A_{3}

общие точки заполняют всю прямую, а не две точки.1

в) Да. Две пересекающиеся плоскости имеют только общую прямую.2

Пример: соседние стены класса пересекаются по одной прямой.2

Ответ: а) нет; б) нет; в) да.

Идея. Аксиома $A_{3}$ : если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

1Любая общая точка двух плоскостей лежит на общей прямой, а на прямой бесконечно много точек. Поэтому у двух плоскостей не может быть ровно одной или ровно двух общих точек. Либо общих точек нет, либо есть целая общая прямая.
2В в) нужно показать, что такое возможно. Плоскости двух смежных стен (пример из п. 2) пересекаются по прямой их стыка, и общих точек вне этой прямой у них нет: «только одна общая прямая».