Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 8, Введение
№14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две из них проведена плоскость. Сколько всего проведено плоскостей?
✎ Запись в тетрадь
Дано:прямые a, b, c проходят через точку O
Найти:число плоскостей
Прямые
a,
b,
c проходят через точку
O; пар прямых три:
ab,
bc,
ac.
1Через две пересекающиеся прямые проходит одна плоскость.
21)
a,
b,
c не в одной плоскости ⇒ плоскости
(ab),
(bc),
(ac) различны: три.
32)
a,
b,
c в одной плоскости ⇒ все три плоскости совпадают: одна.
4Ответ: три, если прямые не лежат в одной плоскости; одна, если лежат.
Пояснение
Идея. Каждая пара прямых пересекается в точке O, а через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна (п. 3). Остаётся выяснить, когда эти плоскости совпадают.
- 1Из трёх прямых можно составить ровно три пары, поэтому плоскостей не больше трёх.
- 2Для каждой пары плоскость определена однозначно, так что «провести плоскость» можно только одним способом.
- 3Если бы две из плоскостей совпали, например (ab) и (bc), то в этой плоскости лежали бы все три прямые. Раз прямые не лежат в одной плоскости, все три плоскости разные.
- 4Если прямые лежат в одной плоскости, то каждая пара лежит в ней, и по единственности все три плоскости — это она.
Частая ошибка. Отвечать одним числом «три»: случай трёх прямых в одной плоскости (например, три прямые на листе через одну точку) тоже возможен.
