Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 8, Введение
№15. Три прямые попарно пересекаются. Докажите, что они либо лежат в одной плоскости, либо имеют общую точку.
✎ Запись в тетрадь
Дано:прямые a, b, c попарно пересекаются
Найти:доказать: лежат в одной плоскости или имеют общую точку
1)
M∈c ⇒
M — общая точка трёх прямых.
12)
M∈/c:
c∩a=A,
c∩b=B,
A=M,
B=M.
2A=B, т. к. общая точка
a и
b только
M.
2 Через
a и
b проходит плоскость
α;
A∈a⊂α,
B∈b⊂α.
3A,B∈α ⇒
c=AB⊂α (
A2): прямые в одной плоскости.
4 Ответ: доказано.
Пояснение
Идея. Две пересекающиеся прямые задают плоскость (п. 3). Достаточно разобрать два случая: третья прямая проходит через точку пересечения первых двух или не проходит.
- 1Обозначаем точку пересечения a и b. Если c проходит через неё, у трёх прямых есть общая точка, и доказывать больше нечего.
- 2Если c не проходит через M, то точки пересечения c с a и с b отличны от M. Они разные: если бы A=B, то это была бы вторая общая точка прямых a и b, а у двух различных прямых общая точка только одна.
- 3Через пересекающиеся прямые a и b проходит единственная плоскость α. Точки A и B лежат на этих прямых, значит, и в α.
- 4По аксиоме A2 прямая, две точки которой лежат в плоскости, вся лежит в этой плоскости. Значит, c⊂α, и все три прямые лежат в α.
