Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 8, Введение
№11. Даны прямая и точка, не лежащая на этой прямой. Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости.
✎ Запись в тетрадь
Дано:прямая a, точка M∈/a; m∋M, m∩a=X
Доказать:все m лежат в одной плоскости
Даны прямая
a и точка
M∈/a. Через них проходит плоскость
α.
1Пусть прямая
m проходит через
M и пересекает
a в точке
X.
2M∈α,
X∈a⊂α,
M=X ⇒
m⊂α (
A2).
3 Это верно для любой такой прямой
m: все они лежат в
α.
3Ответ: доказано.
Пояснение
Идея. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит единственная плоскость (теорема п. 3). Дальше достаточно показать, что каждая нужная прямая имеет в ней две точки.
- 1Плоскость α фиксируем один раз — она не зависит от выбора прямой m.
- 2Берём произвольную прямую m из условия. У неё есть точка M и точка пересечения с a; назовём её X.
- 3Точки M и X различны: M не лежит на a, а X лежит. Обе точки лежат в α, поэтому по аксиоме A2 вся прямая m лежит в α. Выбор m был произвольным, значит, утверждение верно для всех таких прямых.
