Номер 100 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Через каждую из скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой (п. 7). Эти две плоскости параллельны друг другу, а точка $A$ либо лежит на одной из них, либо между и вне их.

1. 1Теорема п. 7: через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит единственная плоскость, параллельная другой прямой. Так получаем $\alpha$ и $\beta$.
2. 2Чтобы доказать $\alpha \parallel \beta$, берём в $\alpha$ прямую $b^{\prime }$, параллельную $b$, и пересекающую $a$. Прямые $a$ и $b^{\prime }$ пересекаются, обе параллельны $\beta$, а такие прямые задают плоскость, параллельную $\beta$ (зад. 51).
3. 3Если $A$ вне $\alpha$ и $\beta$, берём плоскость $\gamma$ через $A$, параллельную $\alpha$ (зад. 59). Она параллельна и $\beta$. Прямая $a$ лежит в плоскости, параллельной $\gamma$, значит, параллельна $\gamma$ (зад. 50). То же для $b$.
4. 4Единственность: плоскость $\delta$, параллельная $a$ и $b$, параллельна и $b^{\prime }$. Пересекающиеся прямые $a$ и $b^{\prime }$ плоскости $\alpha$ параллельны $\delta$, значит, $\delta \parallel \alpha$ (зад. 51). Через $A$ такая плоскость одна, $\delta =\gamma$. Плоскости, содержащей $a$ или $b$, через $A$ нет: они единственные, и это $\alpha$ и $\beta$.
5. 5Если $A$ лежит в $\alpha$, подходит сама $\alpha$: она содержит $a$ и параллельна $b$. Параллельной обеим прямым плоскости через $A$ не будет, иначе она совпала бы с $\alpha$, которая содержит $a$. Для $A\in \beta$ всё то же с заменой $a$ на $b$.