Номер 99 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Пространственную теорему сводим к плоской теореме Фалеса. Для этого проводим вспомогательную прямую $A_1{B}_3$, которая лежит сразу в двух плоскостях: с прямой $a$ и с прямой $b$.

1. 1Прямая $A_1{B}_3$ пересекает плоскость ${\alpha }_3$ в точке $B_3$, поэтому пересекает и параллельную ей ${\alpha }_2$ — в точке $C$.
2. 2Точки $A_1$, $A_3$, $B_3$ задают плоскость, в ней лежат $a$ и $A_1{B}_3$. Она пересекает две параллельные плоскости ${\alpha }_2$ и ${\alpha }_3$ по параллельным прямым: $A_{2}C\parallel A_3{B}_3$.
3. 3В треугольнике $A_1{A}_3{B}_3$ прямая $A_{2}C$ параллельна стороне $A_3{B}_3$, значит, делит стороны $A_1{A}_3$ и $A_1{B}_3$ в одном и том же отношении.
4. 4Теперь плоскость через $b$ и $A_1{B}_3$. Она пересекает параллельные ${\alpha }_1$ и ${\alpha }_2$ по прямым $A_1{B}_1$ и $C{B}_2$, и они параллельны.
5. 5В треугольнике $A_1{B}_1{B}_3$ прямая $C{B}_2$ параллельна стороне $A_1{B}_1$ и делит $A_1{B}_3$ и $B_1{B}_3$ в одном отношении. Правые части обоих равенств с $\frac{A_{1}C}{C{B}_3}$ одинаковы, отсюда искомое.

Частая ошибка. Если $a$ и $b$ пересекаются как раз в точке ${\alpha }_3$ ($A_3=B_3$), прямая $A_1{B}_3$ совпадает с $a$. Тогда обе прямые лежат в одной плоскости, и верна обычная теорема Фалеса.