Номер 108 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. По указанию книги сначала докажем, что три плоскости $AD{A}_1$, $BD{B}_1$, $CD{C}_1$ имеют общую прямую. Тогда её точка пересечения с плоскостью $ABC$ — общая для всех трёх отрезков.

1. 1Равные отрезки на лучах дают равнобедренные треугольники при вершине $D$, а в них биссектрису проще заменить медианой.
2. 2В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине является медианой. Поэтому луч $D{A}_1$ — биссектриса угла $BDC$ — проходит через середину $A_2$ отрезка $B^{\prime }{C}^{\prime }$. Для остальных углов то же.
3. 3Три медианы треугольника $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ пересекаются в одной точке $G$. Точка $A^{\prime }$ лежит на $DA$, точка $A_2$ — на $D{A}_1$, поэтому прямая $A^{\prime }{A}_2$ лежит в плоскости $AD{A}_1$, а с ней и точка $G$. С другими плоскостями то же.
4. 4Плоскости различны (их следы $A{A}_1$ и $B{B}_1$ в плоскости $ABC$ — разные прямые). Две различные плоскости с общими точками $D$ и $G$ пересекаются по прямой $DG$; третья плоскость содержит ту же прямую.
5. 5Отрезки $A{A}_1$ и $B{B}_1$ — отрезки из вершин на противоположные стороны треугольника $ABC$, они пересекаются в точке $O$. Эта точка лежит в двух плоскостях, то есть на $DG$, а потому и в плоскости $CD{C}_1$. Плоскость $CD{C}_1$ пересекает $ABC$ по прямой $C{C}_1$, поэтому $O$ лежит на $C{C}_1$.