Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 34, Доп. задачи к гл. I
№98. Прямая a параллельна плоскости α. Существует ли плоскость, проходящая через прямую a и параллельная плоскости α? Если существует, то сколько таких плоскостей? Ответ обоснуйте.
✎ Запись в тетрадь
Дано:a∥α
Найти:сколько плоскостей β⊃a, β∥α
Возьмём
A∈a. Через
A проходит ровно одна плоскость
β∥α (зад. 59).
1a∥α,
A∈β,
β∥α ⇒
a⊂β (зад. 56).
2 Значит,
β существует:
a⊂β,
β∥α.
2Любая плоскость
β′⊃a,
β′∥α, проходит через
A.
3По зад. 59 такая плоскость одна:
β′=β.
3Ответ: существует, и только одна.
Пояснение
Идея. Через точку вне плоскости проходит единственная параллельная ей плоскость (зад. 59). Остаётся убедиться, что на ней лежит вся прямая a.
- 1Строим плоскость β через одну точку A прямой a, параллельную α. Точка A вне α, потому что a∥α и общих точек у них нет.
- 2Задача 56: если плоскости параллельны и через точку первой проведена прямая, параллельная второй, то она лежит в первой. Наша a проходит через A∈β и параллельна α, значит, лежит в β. Существование доказано.
- 3Любая искомая плоскость содержит a, в частности точку A, и параллельна α. А такая плоскость через A только одна, поэтому других нет.
