Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 34, Доп. задачи к гл. I
№95. Прямая a параллельна плоскости α. Докажите, что если плоскость β пересекает прямую a, то она пересекает и плоскость α.
✎ Запись в тетрадь
Дано:a∥α; β∩a=M
Доказать:β пересекает α
β∩a=M. Через
M проведём
α′∥α (зад. 59).
1 a∥α,
M∈a ⇒
a⊂α′ (зад. 56).
2 a⊂α′,
a⊂β ⇒
β=α′;
M∈β∩α′.
3 β пересекает
α′,
α′∥α ⇒
β пересекает
α (зад. 58).
4 Ответ: β пересекает α — доказано.
Пояснение
Идея. Прямая a, параллельная α, целиком лежит в плоскости α′, параллельной α. А плоскость, пересекающая одну из двух параллельных плоскостей, пересекает и другую.
- 1Нужна плоскость, параллельная α и несущая на себе прямую a. Через точку M прямой a проходит ровно одна плоскость, параллельная α.
- 2Задача 56: плоскости α′ и α параллельны, M∈α′, и прямая через M, параллельная α, лежит в α′. Это именно наша a.
- 3Плоскости β и α′ различны, потому что a лежит в α′, а β её только пересекает. У них есть общая точка M, значит, они пересекаются по прямой.
- 4Задача 58: если плоскость пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то пересекает и вторую. Плоскость β пересекает α′, следовательно, пересекает и α.
