Номер 102 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Параллельность $BC$ плоскости получаем по признаку: в плоскости есть параллельная ей прямая — средняя линия $MN$. Сечение — равнобедренный треугольник, его стороны находим из правильных граней.

1. 1$M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$, значит, $MN$ — средняя линия: параллельна $BC$ и равна половине стороны, то есть $10$ см.
2. 2Признак параллельности прямой и плоскости: $BC$ не лежит в $\alpha$ и параллельна прямой $MN$ из $\alpha$, значит, $BC\parallel \alpha$ (п. 5).
3. 3Плоскость $\alpha$ проходит через $D$, $M$, $N$, поэтому пересекает грани по отрезкам $DM$, $DN$ и $MN$: сечение — треугольник $DMN$. $DM$ — медиана и высота равностороннего треугольника $DAB$ со стороной $20$, то же $DN$ в $DAC$.
4. 4Периметр складываем из трёх сторон: $10\sqrt{3}+10\sqrt{3}+10$.
5. 5Треугольник равнобедренный. Высота к основанию $MN$ падает на его середину, поэтому $h^2=D{M}^2-5^2$. Площадь — половина произведения основания на высоту.

Проверка. $\sqrt{275}=\sqrt{25\cdot 11}=5\sqrt{11}\approx 16,6$; $S\approx 83$ см².