Номер 109 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Боковые рёбра параллелепипеда параллельны, значит, одно из них параллельно плоскости, проходящей через другое. По утверждению $1^0$ п. 6 линия пересечения плоскостей, одна из которых содержит прямую, параллельную другой, параллельна этой прямой.

1. 1Берём «диагональные» сечения $A{A}_1{C}_{1}C$ и $B{B}_1{D}_{1}D$: в каждом по два противоположных боковых ребра, и они не лежат в одной грани. Остальные пары боковых ребер дают те же плоскости.
2. 2Ребро $A{A}_1$ параллельно $B{B}_1$, который лежит в $\beta$. Сам $A{A}_1$ в $\beta$ не лежит, иначе точка $A$ была бы на прямой $BD$, по которой $\beta$ пересекает основание. По признаку п. 6 прямая $A{A}_1$ параллельна плоскости $\beta$.
3. 3Плоскость $\alpha$ проходит через $A{A}_1$ и пересекает $\beta$ по прямой $a$. По утверждению $1^0$ п. 6 прямая $a$ параллельна $A{A}_1$, а значит, и остальным боковым рёбрам.
4. 4Диагональ $A{C}_1$ лежит в $\alpha$ вместе с $a$ и не параллельна $A{A}_1$ (они пересекаются в $A$), поэтому не параллельна и $a$. Две непараллельные прямые одной плоскости пересекаются. То же для $A_{1}C$ в $\alpha$ и для $B{D}_1$, $B_{1}D$ в $\beta$.