Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 35, Доп. задачи к гл. I
№104. Изобразите тетраэдр ABCD и отметьте точку M на ребре AB. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку M параллельно прямым AC и BD.
✎ Запись в тетрадь
Дано:ABCD — тетраэдр; M∈AB; γ∋M, γ∥AC, γ∥BD
Построить:сечение плоскостью γ
В грани
ABC через
M:
MN∥AC,
N∈BC.
1В грани
ABD через
M:
MQ∥BD,
Q∈AD.
2В грани
BCD через
N:
NP∥BD,
P∈CD.
3В грани
ACD соединяем
Q и
P:
QP∥AC.
4MN∥QP∥AC,
MQ∥NP∥BD ⇒
MNPQ — параллелограмм.
5 Ответ: сечение — параллелограмм MNPQ.
Пояснение
Идея. Плоскость, параллельная прямой, пересекает любую плоскость, проходящую через эту прямую, по параллельной ей прямой (п. 6, 10). Поэтому в каждой грани след секущей плоскости проводим параллельно AC или BD.
- 1Грань ABC содержит AC. Секущая плоскость параллельна AC и проходит через M, значит, пересекает эту грань по прямой через M, параллельной AC. Она встречает ребро BC в точке N.
- 2Грань ABD содержит BD. След секущей плоскости в ней — прямая через M, параллельная BD. Она пересекает AD в точке Q. Прямые MN и MQ пересекаются и параллельны AC и BD, поэтому определяют именно нужную плоскость (п. 5, п. 10).
- 3Грань BCD содержит BD и точку N секущей плоскости. След — прямая через N, параллельная BD, она пересекает CD в точке P.
- 4Грань ACD содержит AC, и в ней уже есть точки Q и P. Соединяем их, отрезок QP параллелен AC как след плоскости, параллельной AC.
- 5Две пары противоположных сторон четырёхугольника MNPQ параллельны: MN и QP — прямой AC, а MQ и NP — прямой BD.
