Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 34, Доп. задачи к гл. I
№94. Даны две скрещивающиеся прямые и точка B, не лежащая на этих прямых. Пересекаются ли плоскости, каждая из которых проходит через одну из прямых и точку B? Ответ обоснуйте.
✎ Запись в тетрадь
Дано:a, b — скрещивающиеся; B∈/a, B∈/b; α⊃a,B; β⊃b,B
Найти:пересекаются ли α и β
α⊃a,B;
β⊃b,B (через прямую и точку вне её).
1 B∈α и
B∈β — общая точка.
2 Если
α=β, то
a и
b лежат в одной плоскости. Но они скрещивающиеся.
3Значит,
α=β и по аксиоме
A3 они пересекаются по прямой через
B.
4Ответ: да, пересекаются по прямой, проходящей через B.
Пояснение
Идея. Если у двух различных плоскостей есть общая точка, то они пересекаются по прямой. Общая точка здесь задана сразу — B, остаётся убедиться, что плоскости различны.
- 1Через прямую и не лежащую на ней точку проходит одна плоскость. Так получаем α из a и B и β из b и B.
- 2Обе плоскости проходят через B, поэтому она общая.
- 3Плоскости совпасть не могут: тогда в одной плоскости лежали бы обе прямые, a и b, а скрещивающиеся прямые, по определению, в одной плоскости не лежат.
- 4Две различные плоскости с общей точкой пересекаются по прямой (аксиома A3). Эта прямая проходит через B.
