Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 35, Доп. задачи к гл. I
№101. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер тетраэдра, пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
✎ Запись в тетрадь
Дано:ABCD — тетраэдр; E,F — середины AB,CD; G,H — AC,BD; P,Q — AD,BC
Доказать:EF, GH, PQ пересекаются в одной точке и делятся ею пополам
ABCD — тетраэдр;
E,F,G,H,P,Q — середины
AB,CD,AC,BD,AD,BC.
1 EG — средняя линия
△ABC,
FH —
△DBC:
EG∥BC∥FH,
EG=FH=21BC.
1 EGFH — параллелограмм ⇒
EF и
GH пересекаются в
O и делятся пополам.
2 EP∥BD∥QF,
EP=QF=21BD ⇒
EPFQ — параллелограмм.
3 Его диагонали
EF и
PQ делятся пополам; середина
EF — это
O.
4Итак,
EF,
GH,
PQ проходят через
O и делятся ею пополам.
4Ответ: доказано.
Пояснение
Идея. Два отрезка из трёх оказываются диагоналями параллелограмма, образованного средними линиями граней. Диагонали параллелограмма делятся пополам, значит, общая точка — середина каждого из них. Для третьего отрезка то же самое с другой парой граней.
- 1Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине. В треугольниках ABC и DBC с общим основанием BC средние линии EG и FH обе параллельны BC и равны 21BC.
- 2Две параллельные и равные стороны делают четырёхугольник EGFH параллелограммом. У параллелограмма диагонали, то есть EF и GH, пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
- 3Тот же приём с гранями ABD и CBD и общим основанием BD: средние линии EP и QF параллельны BD и равны его половине. Получаем параллелограмм EPFQ.
- 4Диагонали EF и PQ в нём делятся пополам, и середина EF — всё та же точка O, что и в первом параллелограмме. Значит, и PQ проходит через O и делится ею пополам.
