Номер 103 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Если прямая отсекает от сторон треугольника пропорциональные отрезки, она параллельна третьей стороне. Две такие пары параллельных прямых дают параллельные плоскости (п. 10). Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.

1. 1Если $DM:MA=2:1$, то на $DM$ приходится $2$ части из $3$ всех. Одно и то же отношение на трёх рёбрах из $D$: $DM:DA=DN:DB=DP:DC$.
2. 2В треугольнике $DAB$ точки $M$ и $N$ делят стороны $DA$ и $DB$ в одном и том же отношении, значит, $MN\parallel AB$ (обратная теорема Фалеса). То же в треугольнике $DBC$ для $NP$ и $BC$.
3. 3Признак параллельности плоскостей (п. 10): две пересекающиеся прямые $MN$ и $NP$ одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым $AB$ и $BC$ другой плоскости.
4. 4Из подобия треугольников $DMN$ и $DAB$ следует $MN:AB=DM:DA=\frac{2}{3}$. Так же для двух других сторон, значит, треугольники $MNP$ и $ABC$ подобны с коэффициентом $\frac{2}{3}$.
5. 5Площади относятся как $k^2=\frac{4}{9}$, поэтому $S_{MNP}=\frac{4}{9}\cdot 10$.

Проверка. $\frac{40}{9}=4,44\dots$; сечение меньше основания, как и должно быть.