Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 34, Доп. задачи к гл. I
№92. Плоскость α и прямая a параллельны прямой b. Докажите, что прямая a либо параллельна плоскости α, либо лежит в ней.
✎ Запись в тетрадь
Дано:b∥α; a∥b
Доказать:a∥α или a⊂α
Тогда
a пересекает
α в одной точке.
1a∥b,
a пересекает
α ⇒
b пересекает
α (п. 6,
20).
2 Ответ: a∥α или a⊂α доказано.
Пояснение
Идея. Прямая и плоскость могут быть расположены тремя способами: прямая лежит в плоскости, параллельна ей или пересекает её в одной точке. Третий способ исключаем доказательством от противного.
- 1Если a не лежит в α и не параллельна ей, остаётся одна возможность: у a и α есть единственная общая точка. Это и берём в качестве допущения.
- 2Свойство из п. 6: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая её пересекает. Применяем к a∥b.
- 3Получилось, что b пересекает α, а по условию b∥α, то есть общих точек нет. Допущение неверно, остаются два случая из утверждения.
