Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 34, Доп. задачи к гл. I
№97. Докажите, что два угла с соответственно параллельными сторонами либо равны, либо их сумма равна 180∘.
✎ Запись в тетрадь
Дано:∠AOB, ∠A1O1B1; OA∥O1A1, OB∥O1B1
Доказать:углы равны или их сумма 180∘
OA∥O1A1,
OB∥O1B1. Пара параллельных лучей сонаправлена или противоположна.
1 1) Обе пары сонаправлены ⇒
∠AOB=∠A1O1B1 (п. 8).
22) Обе пары противоположны. Продолжим
A1O1,
B1O1 за
O1: лучи
O1A2,
O1B2 сонаправлены с
OA,
OB.
3∠AOB=∠A2O1B2 (п. 8);
∠A2O1B2=∠A1O1B1 как вертикальные.
3 3)
OA↑↑O1A1,
OB и
O1B1 противоположны. Продолжим
B1O1 до
O1B2.
4∠AOB=∠A1O1B2 (п. 8);
∠A1O1B2+∠A1O1B1=180∘ (смежные).
4 Ответ: углы равны или в сумме 180∘ — доказано.
Пояснение
Идея. Теорема п. 8 даёт равенство углов с сонаправленными сторонами. Любой случай, когда часть сторон направлена противоположно, сводится к ней продолжением лучей за вершину.
- 1Параллельные лучи лежат на параллельных прямых и смотрят либо в одну сторону (сонаправлены), либо в разные (противоположны). Для двух пар сторон получаются три существенно разных случая.
- 2Обе пары сонаправлены: это в точности теорема п. 8, углы равны.
- 3Обе пары противоположны: продолжаем лучи второго угла за его вершину. Новые лучи сонаправлены с лучами первого угла, поэтому новый угол равен первому. Но новый угол вертикален второму, а вертикальные углы равны.
- 4Одна пара сонаправлена, другая противоположна: продолжаем за вершину только один из лучей второго угла. Получается угол, у которого обе пары сторон сонаправлены с первым, значит, он равен первому. А вместе с исходным вторым углом он образует пару смежных углов, сумма которых 180∘.
Частая ошибка. Случаев «одна пара сонаправлена, другая противоположна» два (какая именно пара): они разбираются одинаково, и проверять второй отдельно не нужно.
