Номер 111 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Длина стороны треугольника меньше суммы двух других его сторон. Дважды применяем это неравенство: сначала диагональ заменяем ломаной через диагональ основания, потом диагональ основания — ломаной по рёбрам.

1. 1Диагонали параллелепипеда равноправны, так что достаточно доказать для одной, $A{C}_1$, и тех рёбер, которые выходят из её конца $A$. Для других диагоналей рассуждение такое же.
2. 2Точки $A$, $C$, $C_1$ не лежат на одной прямой, поэтому в треугольнике $AC{C}_1$ сторона $A{C}_1$ строго меньше суммы $AC+C{C}_1$. Точки $A$, $D$, $C$ — вершины треугольника, поэтому $AC<AD+DC$.
3. 3Подставляем второе неравенство в первое и получаем оценку диагонали по ломаной $ADC{C}_1$ из трёх рёбер. Противоположные рёбра параллелепипеда равны, поэтому $DC=AB$ и $C{C}_1=A{A}_1$: ломаная состоит из рёбер, выходящих из одной вершины.