Номер 112 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

A BC D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

— параллелепипед

Доказать:

сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов 12 рёбер

A A_{1} C_{1} C

— параллелограмм (

A A_{1} ∥ C C_{1}

A A_{1} = C C_{1}

A C_{1}^{2} + A_{1} C^{2} = 2 A A_{1}^{2} + 2 A C^{2}

B B_{1} D_{1} D

— параллелограмм:

B D_{1}^{2} + B_{1} D^{2} = 2 B B_{1}^{2} + 2 B D^{2}

A BC D

— параллелограмм:

A C^{2} + B D^{2} = 2 A B^{2} + 2 A D^{2}

Сумма:

A C_{1}^{2} + A_{1} C^{2} + B D_{1}^{2} + B_{1} D^{2} = 2 A A_{1}^{2} + 2 B B_{1}^{2} + 2 (A C^{2} + B D^{2})

= 4 A A_{1}^{2} + 4 A B^{2} + 4 A D^{2}

12 рёбер: по 4 равных

A A_{1}

A B

A D

⇒ сумма квадратов

= 4 A A_{1}^{2} + 4 A B^{2} + 4 A D^{2}

Ответ: равенство доказано.

Пояснение

Идея. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон (указание книги). Применяем это к двум «диагональным» сечениям и к основанию.

1Сечения $A A_{1} C_{1} C$ и $B B_{1} D_{1} D$ — параллелограммы: у них две противоположные стороны — параллельные и равные боковые рёбра. Диагонали параллелепипеда — это диагонали этих параллелограммов, а стороны — боковое ребро и диагональ основания.
2Диагонали оснований $A C$ и $B D$ входят в правые части. Основание — тоже параллелограмм, значит, $A C^{2} + B D^{2}$ выражается через стороны основания.
3Складываем два равенства первого шага и подставляем сумму $A C^{2} + B D^{2}$ из второго. Боковые рёбра равны: $A A_{1} = B B_{1}$ , поэтому $2 A A_{1}^{2} + 2 B B_{1}^{2} = 4 A A_{1}^{2}$ , а $4 A B^{2} + 4 A D^{2}$ приходит из основания.
4У параллелепипеда 12 рёбер разбиваются на три четвёрки равных (параллельных): четыре равны $A A_{1}$ , четыре — $A B$ , четыре — $A D$ . Сумма их квадратов совпадает с найденной.

Номер 112 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели