Номер 113 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 35, Доп. задачи к гл. I

№113. По какой прямой пересекаются плоскости сечений $A_{1} BC D_{1}$ и $B D D_{1} B_{1}$ параллелепипеда $A BC D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ?

✎ Запись в тетрадь

Дано:

A BC D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

— параллелепипед

Найти:

(A_{1} BC D_{1}) \cap (B D D_{1} B_{1})

B \in (A_{1} BC D_{1})

B \in (B D D_{1} B_{1})

D_{1} \in (A_{1} BC D_{1})

D_{1} \in (B D D_{1} B_{1})

Плоскости различны:

C \in (A_{1} BC D_{1})

C \in / (B D D_{1} B_{1})

Различные плоскости с двумя общими точками пересекаются по прямой через них ⇒ по

B D_{1}

Ответ: прямая

B D_{1}

Идея. Если две различные плоскости имеют общую точку, они пересекаются по прямой (аксиома $A_{3}$ ). Значит, достаточно найти две общие точки.

1Точки $B$ и $D_{1}$ — вершины обоих четырёхугольников $A_{1} BC D_{1}$ и $B D D_{1} B_{1}$ . Значит, обе точки лежат в обеих плоскостях.
2Плоскость $B D D_{1} B_{1}$ пересекает основание $A BC D$ по прямой $B D$ , а точка $C$ на ней не лежит. Поэтому $C$ не в плоскости $B D D_{1} B_{1}$ , а в плоскости $A_{1} BC D_{1}$ лежит, значит, плоскости не совпадают.
3У двух различных плоскостей общие точки образуют прямую. Через $B$ и $D_{1}$ проходит единственная прямая $B D_{1}$ , она и есть линия пересечения. Это диагональ параллелепипеда.