Номер 115 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Плоскость, параллельная $BD{C}_1$, пересекает грани по прямым, параллельным сторонам треугольника $BD{C}_1$ (п. 11, свойство $1^0$). Все три стороны этого треугольника лежат в гранях, поэтому следы строим параллельно им.

1. 1Плоскость $BD{C}_1$ пересекает основание по $BD$. Значит, через $M$ в основании проводим прямую, параллельную $BD$, до ребра $CD$ в точке $N$.
2. 2Грань $B{B}_1{C}_{1}C$ плоскость $BD{C}_1$ пересекает по $B{C}_1$. Через $M$ в этой грани проводим прямую, параллельную $B{C}_1$. В треугольнике $BC{C}_1$ она отсекает от $C{C}_1$ точку $K$.
3. 3Две пересекающиеся прямые $MN$ и $MK$ параллельны двум пересекающимся прямым $BD$ и $B{C}_1$ плоскости $BD{C}_1$, значит, плоскость $MNK$ параллельна ей (п. 10). Через точку $M$, не лежащую в $BD{C}_1$, проходит только одна такая плоскость.
4. 4Точки $N$ и $K$ лежат в грани $DC{C}_1{D}_1$, соединяем их. Плоскость $MNK$ пересекает три ребра при вершине $C$ и отсекает эту вершину, поэтому сечение — треугольник.