Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 41, §1 Перпендикулярность прямой и плоскости
№118. Точки A, M и O лежат на прямой, перпендикулярной к плоскости α, а точки O, B, C и D лежат в плоскости α. Какие из следующих углов являются прямыми: ∠AOB, ∠MOC, ∠DAM, ∠DOA, ∠BMO?
✎ Запись в тетрадь
Дано:AO⊥α; A,M,O∈AO; O,B,C,D∈α
Найти:какие из углов AOB, MOC, DAM, DOA, BMO прямые
AO⊥α,
OB,OC,OD⊂α ⇒
AO⊥OB,
OC,
OD (по опр.).
1 ∠AOB=90∘;
M∈AO ⇒
∠MOC=90∘;
∠DOA=90∘.
2 △ADO:
∠O=90∘ ⇒
∠DAM=∠DAO<90∘.
3 △BMO:
∠O=90∘ ⇒
∠BMO<90∘.
3 Ответ: ∠AOB, ∠MOC и ∠DOA.
Пояснение
Идея. Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой этой плоскости (определение п. 16). Прямые углы дают пары «луч на перпендикуляре — луч в плоскости α». В остальных углах считаем сумму углов прямоугольного треугольника.
- 1Прямая AO перпендикулярна α. Прямые OB, OC, OD проходят через O и лежат в α, значит, каждая перпендикулярна AO.
- 2Угол AOB образован лучом OA и лучом OB — прямой. Точки M и A лежат на прямой AO, так что стороны углов MOC и DOA — тоже луч на перпендикуляре и луч в α: оба прямые.
- 3Угол DAM — это угол при вершине A треугольника ADO с прямым углом O, значит, он острый. Угол BMO — острый угол треугольника BMO с прямым углом при O. Ни один не равен 90∘.
