Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 41, §1 Перпендикулярность прямой и плоскости
№116. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Докажите, что: а) DC⊥B1C1 и AB⊥A1D1, если ∠BAD=90∘; б) AB⊥CC1 и DD1⊥A1B1, если AB⊥DD1.
✎ Запись в тетрадь
Дано:ABCDA1B1C1D1 — параллелепипед; а) ∠BAD=90∘; б) AB⊥DD1
Доказать:а) DC⊥B1C1, AB⊥A1D1; б) AB⊥CC1, DD1⊥A1B1
а)
DC∥AB,
B1C1∥BC∥AD,
A1D1∥AD.
1 AB⊥AD,
DC∥AB ⇒
DC⊥AD;
AD∥B1C1 ⇒
DC⊥B1C1.
2 AB⊥AD,
A1D1∥AD ⇒
AB⊥A1D1.
3 б)
AB⊥DD1,
CC1∥DD1 ⇒
AB⊥CC1.
4 A1B1∥AB,
AB⊥DD1 ⇒
A1B1⊥DD1.
4 Ответ: утверждения доказаны.
Пояснение
Идея. Вся задача — лемма п. 15: если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и другая ей перпендикулярна. Противоположные рёбра параллелепипеда параллельны, поэтому каждое ребро можно заменить параллельным.
- 1Основания и боковые грани параллелепипеда — параллелограммы, поэтому противоположные рёбра параллельны. Отсюда DC∥AB и B1C1∥BC∥AD, A1D1∥AD.
- 2Перпендикулярность AB⊥AD даёт DC⊥AD по лемме, потому что DC∥AB. Теперь DC перпендикулярна AD, а B1C1∥AD, поэтому по той же лемме DC⊥B1C1.
- 3A1D1∥AD, а AB⊥AD. Лемма даёт AB⊥A1D1.
- 4В пункте б) перпендикулярна пара AB и DD1. Ребро CC1 параллельно DD1, а A1B1 параллельно AB. Лемма применяется к каждой замене отдельно.
