Номер 117 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 41, §1 Перпендикулярность прямой и плоскости

№117. В тетраэдре $A BC D$ $BC ⊥ A D$ . Докажите, что $A D ⊥ MN$ , где $M$ и $N$ — середины рёбер $A B$ и $A C$ .

✎ Запись в тетрадь

Дано:

A BC D

— тетраэдр;

BC ⊥ A D

;

M

N

— середины

A B

A C

Доказать:

A D ⊥ MN

MN

— средняя линия

△ A BC

⇒

MN ∥ BC

BC ⊥ A D

MN ∥ BC

⇒

MN ⊥ A D

Ответ:

A D ⊥ MN

Идея. Заменяем $BC$ на параллельную ей прямую $MN$ . Перпендикулярность сохраняется (лемма п. 15).

1 $M$ и $N$ — середины сторон $A B$ и $A C$ треугольника $A BC$ , значит, $MN$ — его средняя линия и параллельна $BC$ .
2Прямая $BC$ перпендикулярна $A D$ , а $MN$ параллельна $BC$ . Лемма п. 15: если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей, то и другая перпендикулярна ей. Поэтому $MN ⊥ A D$ (прямые скрещивающиеся).