Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 41, §1 Перпендикулярность прямой и плоскости
№119. Прямая OA перпендикулярна к плоскости OBC, и точка O является серединой отрезка AD. Докажите, что: а) AB=DB; б) AB=AC, если OB=OC; в) OB=OC, если AB=AC.
✎ Запись в тетрадь
Дано:OA⊥(OBC); AO=OD
Доказать:а) AB=DB; б) AB=AC при OB=OC; в) OB=OC при AB=AC
OA⊥(OBC) ⇒
OA⊥OB,
OA⊥OC;
D∈AO ⇒
OD⊥OB.
1 а)
△AOB=△DOB:
OA=OD,
OB — общий катет ⇒
AB=DB.
2 б)
△AOB=△AOC:
OA — общий,
OB=OC, углы
O прямые ⇒
AB=AC.
3 в)
AB=AC ⇒
OB2=OC2 ⇒
OB=OC.
4 Ответ: а), б), в) доказаны.
Пояснение
Идея. Прямая OA перпендикулярна плоскости, значит, она перпендикулярна всем прямым этой плоскости, проходящим через O. Поэтому все нужные треугольники — прямоугольные с прямым углом при O.
- 1По определению п. 16 прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой в ней. Точка D лежит на прямой AO, поэтому и OD⊥OB.
- 2Треугольники AOB и DOB прямоугольные, у них равны катеты OA=OD (середина) и общий катет OB. Значит, равны и гипотенузы AB и DB.
- 3У треугольников AOB и AOC общий катет OA и равные катеты OB=OC — они равны по двум катетам, поэтому AB=AC.
- 4Теорема Пифагора в двух прямоугольных треугольниках с общим катетом OA. Равенство гипотенуз AB=AC даёт равенство вторых катетов.
