Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 13, §1 Параллельность прямых, прямой и плоскости
№21. Треугольники ABC и ABD не лежат в одной плоскости. Докажите, что любая прямая, параллельная отрезку CD, пересекает плоскости данных треугольников.
✎ Запись в тетрадь
Дано:△ABC и △ABD не в одной плоскости; l∥CD
Доказать:l пересекает (ABC) и (ABD)
D∈/(ABC): иначе оба треугольника лежали бы в одной плоскости.
1 Прямая
CD имеет с
(ABC) общую точку
C и не лежит в ней ⇒ пересекает
(ABC).
2l∥CD ⇒
l пересекает
(ABC) (лемма, п. 5).
3 Так же
C∈/(ABD),
CD пересекает
(ABD) в точке
D ⇒
l пересекает
(ABD).
3Ответ: доказано.
Пояснение
Идея. Сначала показываем, что сама прямая CD пересекает каждую из плоскостей, а потом переносим это на параллельную прямую по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми (п. 5).
- 1Если бы точка D лежала в плоскости ABC, то в ней лежали бы A, B, D, то есть и треугольник ABD. Это противоречит условию.
- 2Пересекать плоскость значит иметь с ней ровно одну общую точку. Точка C общая, а лежать в плоскости прямая CD не может, ведь D вне плоскости. Вторая общая точка по аксиоме A2 положила бы всю прямую в плоскость, поэтому общая точка одна.
- 3Лемма: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая пересекает её. Для плоскости ABD рассуждение то же, роли C и D меняются.
