Номер 120 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Расстояние от $K$ до вершины — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $OK$ и «радиусом» квадрата $OA$. Прямой угол даёт определение перпендикулярности прямой и плоскости (п. 16).

1. 1Диагональ квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$. Диагонали квадрата равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому $O$ равноудалена от всех вершин.
2. 2Прямая $OK$ перпендикулярна плоскости квадрата, значит, она перпендикулярна любой прямой этой плоскости через $O$, в частности диагоналям. Треугольники $KOA$, $KOB$, $KOC$, $KOD$ прямоугольные с прямым углом при $O$.
3. 3В треугольнике $KOA$ по теореме Пифагора считаем $KA$. Корень из $b^2+\frac{a^2}{2}$ можно записать как $\frac{\sqrt{4b^2+2a^2}}{2}$.
4. 4Остальные три треугольника имеют те же катеты $OK=b$ и $\frac{a\sqrt{2}}{2}$, поэтому расстояния до всех вершин одинаковы.