Номер 122 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 41, §1 Перпендикулярность прямой и плоскости

№122. Прямая $C D$ перпендикулярна к плоскости правильного треугольника $A BC$ . Через центр $O$ треугольника проведена прямая $O K$ , параллельная прямой $C D$ . Известно, что $A B = 163$ см, $O K = 12$ см, $C D = 16$ см. Найдите расстояния от точек $D$ и $K$ до вершин $A$ и $B$ треугольника.

✎ Запись в тетрадь

Дано:

A BC

— правильный,

A B = 163

см;

C D ⊥ (A BC)

C D = 16

см;

O

— центр;

O K ∥ C D

O K = 12

см

Найти:

D A

D B

K A

K B

Правильный треугольник ABC, центр O, перпендикуляр CD и параллельная ему OK

C D ⊥ (A BC)

O K ∥ C D

⇒

O K ⊥ (A BC)

(п. 16).1

O A = OB = \frac{A B}{3} = 16

O K ⊥ O A

⇒

K A^{2} = O K^{2} + O A^{2} = 144 + 256 = 400

K A = K B = 20

см.3

C D ⊥ C A

C A = A B = 163

D A^{2} = C D^{2} + C A^{2} = 256 + 768 = 1024

D A = D B = 32

см.4

Ответ:

K A = K B = 20

см;

D A = D B = 32

см.

Пояснение

Идея. Все искомые расстояния — гипотенузы прямоугольных треугольников, прямой угол в которых даёт перпендикуляр к плоскости. Сначала убеждаемся, что $O K$ — тоже перпендикуляр.

1Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая (первая теорема п. 16). Из $C D ⊥ (A BC)$ и $O K ∥ C D$ получаем $O K ⊥ (A BC)$ .
2Центр правильного треугольника — центр его описанной окружности, и $O A = OB = OC = R$ . Радиус через сторону $a$ равен $\frac{a}{3}$ .
3 $O K$ перпендикулярна всем прямым плоскости, в частности $O A$ и $OB$ . В прямоугольных треугольниках $K O A$ и $K OB$ катеты равны, значит, и $K A = K B$ .
4 $C D$ перпендикулярна $C A$ и $CB$ . Треугольники $D C A$ и $D CB$ прямоугольные с катетами $C D = 16$ и $C A = CB = 163$ .

Номер 122 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели